Рубрики

Приложения каталонских чисел

Фон :
Каталонские числа определяются по следующей формуле:

Каталонские числа также могут быть определены с использованием следующей рекурсивной формулы.

Первые несколько каталонских чисел для n = 0, 1, 2, 3,… являются 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,…

Направьте это для реализации n-го каталонского номера.

Приложения :

  1. Количество возможных деревьев бинарного поиска с n ключами .
  2. Количество выражений, содержащих n пар скобок, которые правильно сопоставлены. Для n = 3 возможными выражениями являются ((())), () (()), () () (), (()) (), (() ()).
  3. Количество способов, которыми выпуклый многоугольник с n + 2 сторонами может разбиться на треугольники, соединяя вершины.
  4. Число полных двоичных деревьев (корневое двоичное дерево заполнено, если у каждой вершины есть либо два дочерних элемента, либо их нет) с n + 1 листом.
  5. Число различных немеченых двоичных деревьев может быть там с n узлами .
  6. Количество путей с 2n шагами на прямоугольной сетке от левого нижнего угла, то есть (n-1, 0) к верхнему правому углу (0, n-1), которые не пересекают основную диагональ.
  7. Количество способов вставить n пар скобок в слово из n + 1 букв, например, для n = 2 существует 2 способа: ((ab) c) или (a (bc)). Для n = 3 существует 5 способов: ((ab) (cd)), (((ab) c) d), ((a (bc)) d), (a ((bc) d)), (a (б (кд))).
  8. Количество непересекающихся разделов множества {1,…, 2n}, в которых каждый блок имеет размер 2. Разделение не пересекается тогда и только тогда, когда на его планарной диаграмме блоки не пересекаются (т.е. не пересекаются). Например, ниже двух находятся пересекающиеся и непересекающиеся перегородки {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Раздел {{1, 5, 7}, {2, 3, 8}, {4, 6}, {9}} пересекается и раздел {{1, 5, 7}, {2, 3}, {4 }, {6}, {8, 9}} не является пересечением.
  9. Количество дейкских слов длиной 2n. Дейкское слово — это строка, состоящая из n X и n Y, такая, что ни в одном начальном сегменте строки не содержится больше Y, чем в X. Например, ниже приведены слова Дейка длиной 6: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY.
  10. Количество способов мозаичной формы ступеньки высотой n с n прямоугольниками. На следующем рисунке показан случай n = 4:
  11. Количество способов соединить точки по кругу непересекающимися аккордами. Это похоже на пункт 3 выше.
  12. Количество способов сформировать «горные хребты» с n поднятиями и n подъёмами, которые все остаются выше исходной линии. Интерпретация горного хребта состоит в том, что горы никогда не опустятся ниже горизонта.
  13. Количество сортируемых в стеке перестановок {1,…, n}. Перестановка w называется сортируемой по стеку, если S (w) = (1,…, n), где S (w) определяется рекурсивно следующим образом: запись w = unv, где n — самый большой элемент в w, а u и v более короткие последовательности, и установите S (w) = S (u) S (v) n, где S — это идентичность одноэлементных последовательностей.
  14. Количество перестановок {1,…, n}, которые избегают шаблона 123 (или любого другого шаблона длины 3); то есть количество перестановок без трехчленной возрастающей подпоследовательности. Для n = 3 эти перестановки равны 132, 213, 231, 312 и 321. Для n = 4 они равны 1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312. и 4321

Источники:

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
  2. http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html
  3. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/CatalanNumbers/catalan.html
  4. http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/instructor/applications/ch07.pdf
  5. https://oeis.org/A000108

Эта статья предоставлена Акашем Шриваставой . Если вам нравится GeeksforGeeks и вы хотите внести свой вклад, вы также можете написать статью и отправить ее по почте на contrib@geeksforgeeks.org. Смотрите свою статью, появляющуюся на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим вундеркиндам.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

Рекомендуемые посты:

Приложения каталонских чисел

0.00 (0%) 0 votes