Рубрики

Математика | Собственные значения и собственные векторы

Собственный вектор матрицы A представляет собой вектор, представленный матрицей X, так что когда X умножается на матрицу A, то направление результирующей матрицы остается таким же, как вектор X.

Математически вышеприведенное утверждение может быть представлено как:

AX = λX

где A — любая произвольная матрица, λ — собственные значения, а X — собственный вектор, соответствующий каждому собственному значению.

Здесь мы можем видеть, что AX параллелен X. Таким образом, X является собственным вектором.

Метод нахождения собственных векторов и собственных значений любой квадратной матрицы A
Мы знаем это,

AX = λX

=> AX — λX = 0

=> (A — λI) X = 0… .. (1)

Вышеуказанное условие будет выполнено только в том случае, если (A — λI) сингулярно Это значит,

| A — λI | = 0… .. (2)

(2) известен как характеристическое уравнение матрицы.

Корнями характеристического уравнения являются собственные значения матрицы A.

Теперь, чтобы найти собственные векторы, мы просто помещаем каждое собственное значение в (1) и решаем его путем исключения Гаусса, то есть преобразовываем расширенную матрицу (A — λI) = 0 в форму ряда строк и решаем линейную систему уравнений таким образом получается.

Некоторые важные свойства собственных значений

  • Собственные значения вещественных симметричных и эрмитовых матриц действительны

  • Собственные значения вещественных кососимметричных и косых эрмитовых матриц либо чисто мнимые, либо равны нулю

  • Собственные значения унитарных и ортогональных матриц имеют единичный модуль | λ | = 1

  • Если λ 1, λ 2 …… .λ n — собственные значения A, то kλ 1 , kλ 2 …… .kλ n — собственные значения kA

  • Если λ 1, λ 2 …… .λ n — собственные значения A, то 1 / λ 1 , 1 / λ 2 …… .1 / λ n — собственные значения A -1

  • Если λ 1, λ 2 …… .λ n — собственные значения A, то λ 1 k , λ 2 k …… .λ n k — собственные значения A k

  • Собственные значения A = Собственные значения A T (Транспонирование)

  • Сумма собственных значений = след A (сумма диагональных элементов A)

  • Произведение собственных значений = | A |

  • Максимальное количество различных собственных значений A = Размер A

  • Если A и B две матрицы одного порядка, то собственные значения AB = собственные значения BA

Эта статья предоставлена Саурабх Шармой.

Если вы хотите внести свой вклад, пожалуйста, напишите нам свой интерес по адресу contrib@geeksforgeeks.org

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

Рекомендуемые посты:

Математика | Собственные значения и собственные векторы

0.00 (0%) 0 votes