Рубрики

Математика | Классы (инъективные, сюръективные, биективные) функций

Функция f от A до B является назначением ровно одного элемента B каждому элементу A (A и B — непустые множества). A называется областью f, а B называется областью f. Если b является уникальным элементом B, назначенным функцией f элементу a из A, он записывается как f (a) = b. f отображает A в B. означает, что f является функцией от A до B, это записывается как

Термины, связанные с функциями:

  • Домен и совместный домен — если f является функцией из набора A в набор B, то A называется Доменом, а B называется совместным доменом.
  • Range — Range of f — множество всех изображений элементов A. В основном Range — это подмножество co-domain.
  • Изображение и предварительное изображение — b является изображением a, а a является предварительным изображением b, если f (a) = b.

Свойства функции:

  1. Сложение и умножение: пусть f1 и f2 — две функции от A до B, тогда f1 + f2 и f1.f2 определены как:
    f1 + f2 (x) = f1 (x) + f2 (x). (Дополнение)
    f1f2 (x) = f1 (x) f2 (x). (Умножение)
  2. Равенство: две функции равны только в том случае, если они имеют одинаковый домен, один и тот же домен и одни и те же элементы отображения из домена в один домен.

Типы функций:

  1. Функция «один к одному» (Injective): функция вызывается один к одному, если для всех элементов a и b в A, если f (a) = f (b), то это должен быть случай, когда a = b. Он никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент своей совместной области .

    Мы можем выразить, что f один к одному, используя квантификаторы как или эквивалентно где вселенная дискурса является областью функции.

  2. На функцию (сюръективную): если каждому элементу b в B соответствует элемент a в A, такой что f (a) = b. Не требуется, чтобы а был уникальным; Функция f может отображать один или несколько элементов A в один и тот же элемент B.
  3. Функция соответствия один-к-одному (Bijective / Invertible): Функция — это Bijective-функция, если она является взаимно-однозначной и одной функцией.

  4. Обратные функции: функция Bijection также известна как обратимая функция, потому что они имеют свойство обратной функции. Обратная биекция f обозначается как f -1 . Это функция, которая присваивает b уникальный элемент a такой, что f (a) = b. следовательно, f -1 (b) = a.

Некоторые полезные функции -:

Строго возрастающие и строго убывающие функции: функция f строго возрастает, если f (x)> f (y), когда x> y. Функция f строго убывает, если f (x) <f (y), когда x <y.

Функции увеличения и уменьшения: функция f увеличивается, если f (x) ≥ f (y), когда x> y. Функция f уменьшается, если f (x) ≤ f (y), когда x <y.

Композиция функций: пусть g — функция от B до C, а f — функция от A до B, композиция f и g, которая обозначается как fog (a) = f (g (a)).

Свойства функционального состава:

  1. туман ≠ гоф
  2. f -1 of = f -1 (f (a)) = f -1 (b) = a.
  3. fof -1 = f (f -1 (b)) = f (a) = b.
  4. Если f и g оба являются функцией один к одному, то туман также является функцией один к одному.
  5. Если f и g оба включены, то туман также включен.
  6. Если f и туман оба являются однозначными функциями, то g также однозначно.
  7. Если f и туман на, то не обязательно, что g также на.
  8. (туман) -1 = г -1 из -1

Некоторые важные моменты:

  1. Функция является однозначной, если она либо строго увеличивается, либо строго уменьшается.
  2. Функция «один к одному» никогда не присваивает одно и то же значение двум различным элементам домена.
  3. Для функции on диапазон и совмещенный домен равны.
  4. Если функция f не является биективной, обратная функция от f не может быть определена.

Эта статья предоставлена Нитика Бансал

Рекомендуемые посты:

Математика | Классы (инъективные, сюръективные, биективные) функций

0.00 (0%) 0 votes