Рубрики

чисел

ВИДЫ ЧИСЕЛ

  1. Целые числа: все числа, дробная часть которых равна 0 (нулю), например -3, -2, 1, 0, 10, 100, являются целыми числами.
  2. Натуральные числа : подсчет чисел, таких как 1, 2, 3, 4, 5, 6 … По сути, все целые числа больше 0 являются натуральными числами.
  3. Целые числа: все натуральные числа и 0 (ноль) являются целыми числами.
  4. Простые числа : все числа, имеющие только два различных фактора, само число и 1, называются простыми числами. Некоторые простые числа 2, 3, 53, 67 и 191.
  5. Составное число : все числа больше 1, которые НЕ являются простыми, являются составными числами. Некоторые составные числа 4, 60, 91 и 100.

ВАЖНЫЕ ТОЧКИ НА ПЕРВИЧНЫХ НОМЕРАХ

  • 1 не является ни простым, ни составным.
  • 2 — единственное четное простое число.
  • Есть 25 простых чисел меньше 100. Это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • Чтобы проверить, является ли число «p» простым, найдите число «n», такое, что «n» является наименьшим натуральным числом, которое удовлетворяет n 2 > = p. Теперь проверьте, делится ли «p» на любое из простых чисел, меньших или равных «n». Если «p» НЕ делится на такие простые числа, «p» является простым числом. В противном случае p не является простым числом.
  • Со-простые числа: два числа «а» и «b» называются со-простыми, если их самый высокий общий множитель (HCF) равен 1.

ДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

    • Делимость на 2: число делится на 2, если последняя цифра — любое из 0, 2, 4, 6, 8.
    • Делимость на 3 : число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, 12321 делится на 3, потому что 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 и 9 делится на 3.
    • Делимость на 4: число делится на 4, если последние две цифры делятся на 4. Например, 1234 не делится на 4, так как последние две цифры 34 не делятся на 4. Но 1232 делится на 4, так как последние две цифры 32 делятся на 4.
    • Делимость на 5 : число делится на 5, если последняя цифра равна 0 или 5.
    • Делимость на 6 : число делится на 6, если оно делится на 2 и 3. Например, 114 делится на 6, так как оно делится на 2 (последняя цифра 4) и 3 (1 + 1 + 4 = 6, 6 делится на 3).
    • Делимость на 7 : число делится на 7, если многократно выполняются следующие шаги, пока ни одна оставленная цифра не оставляет одну цифру 0 или 7. (1) Удалите последнюю цифру. (2) Вычтите двойную последнюю цифру из числа, полученного после шага 1 (число с удаленной последней цифрой). Например, данное число равно 196. После удаления последней цифры мы получаем 19. После вычитания 12 (двойная из удаленной цифры) мы получаем 7. Поскольку последняя левая цифра равна 7, число кратно 7.
    • Делимость на 8 : число делится на 8, если последние три цифры делятся на 8. Например, 1234 не делится на 8, так как последние три цифры 234 не делятся на 8. Но 1232 делится на 8, так как последние три цифры 232 делятся на 8.
    • Делимость на 9 : число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, 12321 делится на 3, потому что 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 и 9 делится на 9.
    • Делимость на 11 : число делится на 11, если разница между суммой чисел в четных и нечетных позициях равна 0 или кратна 11.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если «p» и «q» являются взаимно простыми числами, и у нас есть число «n», которое делится на «p» и «q», то «n» будет делиться на px q.
Например, 48 делится на 3 и 8, а также на 3 x 8 = 24.
Но если «p» и «q» НЕ являются взаимно простыми, то тот факт, что «n» будет делиться на pxq, учитывая, что «n» делится на «p» и «q», необязателен. Например, 144 делится на 8 и 12 (не взаимно простое), но не делится на 8 x 12 = 96.
ТЕОРЕМА ОТДЕЛЕНИЯ

  • Дивиденд = (делитель х частное) + остаток
  • (x n — a n ) делится на (x — a) для всех значений n.
    Например, для n = 2, x 2 — a 2 = (x — a) (x + a), который делится на (x — a).
    Аналогично, для n = 3, x 3 — a 3 = (x — a) (x 2 + a 2 + xa), который делится на (x — a).
  • (x n — a n ) делится на (x + a) для всех четных значений n.
    Например, для n = 2, x 2 — a 2 = (x — a) (x + a), который делится на (x + a).
    Аналогично, для n = 3, x 3 — a 3 = (x — a) (x 2 + a 2 + xa), который не делится на (x + a).
  • (x n + a n ) делится на (x + a) для всех нечетных значений n.
    Например, для n = 3, x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 + a 2 — xa), который делится на (x + a).

Типовые проблемы

Вопрос 1: Когда число последовательно делится на 2, 3, 7, мы получаем 1, 2, 3 как остаток соответственно. Какое наименьшее такое число?
Решение: число имеет вид 2a + 1, 3b + 2, 7c + 3. Итак, мы ставим c = 1 и действуем следующим образом:

По сути, мы последовательно умножаем делители на результат предыдущего этапа и добавляем соответствующий остаток.
7 х 1 + 3 = 10
3 х 10 + 2 = 32
2 х 32 + 1 = 65
Таким образом, 65 является обязательным ответом.
ПРИМЕЧАНИЕ: ответ будет другим, если мы изменим порядок делителей. Для наименьшего числа расположите делители в порядке убывания.

Вопрос 2: Когда число последовательно делится на 2, 4, 8, мы получаем 1, 1, 0 как остаток соответственно. Какое наименьшее такое число?
Решение: действуя аналогично вышеуказанному вопросу,
8 х 1 + 0 = 8
4 х 8 + 1 = 33
2 х 33 + 1 = 67
Таким образом, 67 является обязательным ответом.

Вопрос 3: Каким будет максимальное значение «B» в следующем уравнении:

  1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
  1035
--------

Решение: только самая левая часть номера может состоять из двух или более цифр. Итак, мы разделили ответ на:

  1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
 10 3 5
--------

Теперь из столбца 1 мы можем легко сделать вывод, что B + C = 8.
Во-первых, давайте рассмотрим B + C = 18. Это возможно в том и только в том случае, если B = C = 9. Итак, уравнение будет 129 + 949 + 967 = 2045, но нам нужно 1035 в качестве ответа. Таким образом, это не обязательный случай.
Итак, B + C = 8. Для максимума «B» положим C = 0. Поэтому B = 8.
Теперь, чтобы проверить наш ответ, мы положили B = 8 и C = 0 в данном уравнении.

  1 2 8
+ 8 4 0
+ 0 6 7
--------
 10 3 5
--------

Поэтому наш ответ B = 8 правильный.

Вопрос 4: Какие из следующих простых чисел?
(i) 247
(ii) 397
(iii) 423
Решение :
(i) 16 2 = 256> 247. Простые числа меньше 16 равны 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 247, делится на 13. Следовательно, 247 не является простым числом. Это составное число.
(ii) 20 2 = 400> 397. Простые числа меньше 20 равны 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, но 397 не делится ни на одно из них. Следовательно, 397 — простое число.
(iii) 21 2 = 441> 423. Простые числа, меньшие 21, равны 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 423, делится на 3. Следовательно, 423 не является простым числом. Это составное число.

Вопрос 5: найдите цифру единицы в произведении (17) 153 x (31) 62 .
Решение: Цифра единицы данного уравнения будет такой же, как цифра единицы в уравнении 7 153 x 1 62 .
Теперь нам нужно найти образец в цифре единицы, когда мы постепенно увеличиваем степень 7. 7 1 дает 7, 7 2 дает 9, 7 3 дает 3, 7 4 дает 1. Итак, на четвертой степени мы получаем цифра единицы — 1. Поэтому, чтобы упростить нашу работу, нам нужно записать исходную мощность (153), кратную 4, в максимально возможной степени. Мы умножим эту степень (4) на число, такое, что мы получим ближайшее к 153. Таким образом, 4 x 38 = 152 и 7 152 также имеет 1 вместо единицы.
Теперь (17) 153 имеет 7 на месте отряда и (31) 62 имеет 1 на месте отряда.
Поэтому проблема просто сводится к 7 x 1 = 7.
Следовательно, единица измерения — 7.

Вопрос 6: Найдите цифру единицы в (17) 153 + (31) 62 .
Решение: Цифра единицы данного уравнения будет такой же, как цифра единицы уравнения 7 153 + 1 62 .
Теперь нам нужно найти образец в цифре единицы, когда мы постепенно увеличиваем степень 7. 7 1 дает 7, 7 2 дает 9, 7 3 дает 3, 7 4 дает 1. Итак, на четвертой степени мы получаем цифра единицы — 1. Поэтому, чтобы упростить нашу работу, нам нужно записать исходную мощность (153), кратную 4, в максимально возможной степени. Мы умножим эту степень (4) на число, такое, что мы получим ближайшее к 153. Таким образом, 4 x 38 = 152 и 7 152 также имеет 1 вместо единицы.
Теперь (17) 153 имеет 7 на месте отряда и (31) 62 имеет 1 на месте отряда.
Поэтому проблема просто сводится к 7 + 1 = 8.
Следовательно, единица измерения — 8.

Вопрос 7: Найдите общее число простых факторов в выражении (14) 11 x (7) 2 x (11) 3 .
Решение: (14) 11 x (7) 2 x (11) 3 = (2 x 7) 11 x (7) 2 x (11) 3 = (2) 11 x (7) 11 x (7) 2 x ( 11) 3 = (2) 11 x (7) 13 x (11) 3
Следовательно, общее число простых факторов = 11 + 13 + 3 = 27

Вопрос 8: Какие цифры должны стоять вместо * и #, чтобы число 12386 * # делилось на 8 и 5?
Решение: Поскольку данное число должно делиться на 5, вместо # должно быть 0 или 5. Но число, заканчивающееся на 5, никогда не делится на 8. Таким образом, 0 заменит #.
Теперь число, образованное последними тремя цифрами, равно 6 * 0, которое делится на 8, если * заменить на 0, 4 или 8.
Следовательно, цифры вместо * и # равны 0 или 4 или 8 и 0 соответственно.

Вопрос 9: Какое наименьшее число нужно вычесть из 9999, чтобы сделать его делимым на 19?
Решение: разделив 9999 на 19, мы получим 5 как остаток. Следовательно, вычитаемое число = 5.

Вопрос 10: Какое наименьшее число нужно добавить к 9999, чтобы сделать его делимым на 19?
Решение: разделив 9999 на 19, мы получим 5 как остаток. Следовательно, добавляемое число = 19 — 5 = 14.

Вопрос 11: Число, разделенное на 340, дает остаток 47. Каким будет остаток, если то же число делится на 17?
Решение: число имеет вид 340a + 47 = 17 * (20a) + 17 * (2) + 13 = 17 * (20a + 2) + 13.
Поэтому, разделив это число на 17, мы получим 13 как остаток.

Вопрос 12: Найдите остаток, когда 3 21 делится на 5.
Решение: 3 4 = 81. Таким образом, цифра единицы 3 4 равна 1.
Следовательно, цифра единицы 3 20 = 1 и, следовательно, цифра единицы 3 21 = 1 * 3 = 3.
3 при делении на 5 дает 3 в качестве остатка.
Таким образом, остаток, когда 3 21 делится на 5, равен 3.

Задача о числах | Set-2

Викторина по числам

Эта статья предоставлена Nishant Arora

Пожалуйста, пишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения относительно темы, обсужденной выше, или вы столкнулись с трудностями в любом вопросе, или если вы хотите обсудить вопрос, отличный от упомянутых выше.

Пожалуйста, пишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой выше теме.

Рекомендуемые посты:

чисел

0.00 (0%) 0 votes