Рубрики

Прогрессии (AP, GP, HP)

Прогрессии (или последовательности и серии) — это числа, расположенные в определенном порядке, так что они образуют предсказуемый порядок. Под предсказуемым порядком мы подразумеваем, что с учетом некоторых чисел мы можем найти следующие числа в ряду.

Арифметическая прогрессия (AP)

Последовательность чисел называется арифметической прогрессией, если разница между любыми двумя последовательными членами всегда одинакова. Проще говоря, это означает, что следующее число в серии рассчитывается путем добавления фиксированного числа к предыдущему числу в серии. Это фиксированное число называется общей разницей.
Например, 2,4,6,8,10 является AP, потому что разница между любыми двумя последовательными членами в ряду (общая разница) одинакова (4 — 2 = 6 — 4 = 8 — 6 = 10 — 8 = 2) ,

    Если «а» — это первый член, а «d» — это общая разница,

  • n-й член AP = a + (n-1) d
  • Среднее арифметическое = сумма всех терминов в AP / количество терминов в AP
  • Сумма 'n' членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0,5 n [2a + (n-1) d]

Геометрическая прогрессия (GP)

Последовательность чисел называется геометрической прогрессией, если отношение любых двух последовательных членов всегда одинаково. Проще говоря, это означает, что следующее число в серии рассчитывается путем умножения фиксированного числа на предыдущее число в серии. Это фиксированное число называется общим соотношением.
Например, 2,4,8,16 — это GP, потому что соотношение любых двух последовательных членов в ряду (общая разница) одинаково (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2).

    Если «а» является первым слагаемым и «г» является общим соотношением,

  • n-й член GP = ar n-1
  • Среднее геометрическое = n-й корень произведения из n членов в GP
  • Сумма 'n' членов GP (r <1) = [a (1 — r n )] / [1 — r]
  • Сумма 'n' членов GP (r> 1) = [a (r n — 1)] / [r — 1]
  • Сумма бесконечных членов GP (r <1) = (a) / (1 — r)

Гармоническая прогрессия (HP)

Последовательность чисел называется гармонической прогрессией, если обратные термины находятся в AP. Проще говоря, a, b, c, d, e, f находятся в HP, если 1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d, 1 / e, 1 / f находятся в AP.

    Для двух терминов «а» и «б»,

  • Среднее гармоническое = (2 ab) / (a + b)

Для двух чисел, если A, G и H являются соответственно арифметическим, геометрическим и гармоническим средними, то

  • A ≥ G ≥ H
  • AH = G 2 , т. Е. A, G, H находятся в GP

Типовые проблемы

Вопрос 1: Найдите n-й член для AP: 11, 17, 23, 29,…
Решение: Здесь a = 11, d = 17 — 11 = 23 — 17 = 29 — 23 = 6
Мы знаем, что n-й член AP — это + (n — 1) d
=> n-й член для данного AP = 11 + (n — 1) 6
=> n-й член для данного AP = 5 + 6 n
Мы можем проверить ответ, поставив значения n.
=> n = 1 -> Первый член = 5 + 6 = 11
=> n = 2 -> Второй член = 5 + 12 = 17
=> n = 3 -> третий член = 5 + 18 = 23
и так далее …

Вопрос 2: Найдите сумму AP в приведенном выше вопросе до первых 10 членов.
Решение: Из приведенного выше вопроса
=> n-й член для данного AP = 5 + 6 n
=> Первый член = 5 + 6 = 11
=> Десятый член = 5 + 60 = 65
=> Сумма 10 членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0,5 x 10 (11 + 65)
=> Сумма 10 членов AP = 5 х 76 = 380

Вопрос 3: Для элементов 4 и 6 убедитесь, что A ≥ G ≥ H.
Решение: A = Среднее арифметическое = (4 + 6) / 2 = 5
G = среднее геометрическое = = 4.8989
H = среднее гармоническое = (2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48/10 = 4,8
Следовательно, A ≥ G ≥ H

Вопрос 4: Найдите сумму рядов 32, 16, 8, 4,… до бесконечности.
Решение: первый член, а = 32
Общее соотношение r = 16/32 = 8/16 = 4/8 = 1/2 = 0,5
Мы знаем, что для бесконечного GP сумма членов = a / (1 — r)
=> Сумма сроков ГП = 32 / (1 — 0,5) = 32 / 0,5 = 64

Вопрос 5: Сумма трех чисел в GP равна 26, а их произведение — 216. ind числа.
Решение: Пусть числа будут a / r, a, ar.
=> (a / r) + a + ar = 26
=> a (1 + r + r 2 ) / r = 26
Также дано, что продукт = 216
=> (a / r) x (a) x (ar) = 216
=> a 3 = 216
=> a = 6
=> 6 (1 + r + r 2 ) / r = 26
=> (1 + r + r 2 ) / r = 26/6 = 13/3
=> 3 + 3 р + 3 р 2 = 13 р
=> 3 r 2 — 10 r + 3 = 0
=> (r — 3) (r — (1/3)) = 0
=> r = 3 или r = 1/3
Таким образом, необходимые цифры 2, 6 и 18.

Задачи по прогрессии (AP, GP, HP) | Set-2

Эта статья предоставлена Nishant Arora

Пожалуйста, пишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения, связанные с обсуждаемой выше темой, или если вы столкнулись с трудностями в каком-либо вопросе, или если вы хотите обсудить вопрос, отличный от упомянутых выше.

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

Рекомендуемые посты:

Прогрессии (AP, GP, HP)

0.00 (0%) 0 votes