Рубрики

Математика | Случайные переменные

Случайная переменная — это, в основном, функция, которая отображается из набора выборочного пространства в набор действительных чисел. Цель состоит в том, чтобы получить представление о результате конкретной ситуации, когда нам дают вероятности различных результатов. Смотрите пример ниже для большей ясности.

Пример :

Suppose that two coins (unbiased) are tossed 

X = number of heads. [X is a random variable 
                                or function]

Here, the sample space S = {HH, HT, TH, TT}. 

The output of the function will be :
      X(HH) = 2
      X(HT) = 1
      X(TH) = 1
      X(TT) = 0

Формальное определение:
X: S -> R
X = случайная величина (обычно обозначается заглавной буквой)
S = набор пробного пространства
R = множество действительных чисел

Предположим, что случайная величина X принимает m разных значений, т.е. выборочное пространство X = {x1, x2, x3 ……… xm} с вероятностями P (X = xi) = pi; где 1 ≤ i ≤ m. Вероятности должны удовлетворять следующим условиям:

  1. 0
  2. p1 + p2 + p3 + ……. + pm = 1 Или мы можем сказать 0 ≤ pi ≤ 1 и ∑pi = 1.

Следовательно, возможные значения для случайной величины X равны 0, 1, 2.
X = {0, 1, 2}, где m = 3
P (X = 0) = вероятность того, что количество головок равно 0 = P (TT) = 1/2 * 1/2 = 1⁄4.
P (X = 1) = вероятность того, что количество головок равно 1 = P (HT | TH) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 1⁄2.
P (X = 2) = вероятность того, что число головок равно 2 = P (HH) = 1/2 * 1/2 = 1⁄4.

Здесь вы можете наблюдать, что
1) 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1
2) p1 + p2 + p3 = 1/4 + 2/4 + 1/4 = 1

Пример :
Предположим, что бросали кости X = результат игры в кости. Здесь образец пространства S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Вывод функции будет:

  1. P (X = 1) = 1/6
  2. P (X = 2) = 1/6
  3. P (X = 3) = 1/6
  4. P (X = 4) = 1/6
  5. P (X = 5) = 1/6
  6. P (X = 6) = 1/6

Посмотрите, есть ли какая-либо случайная переменная, тогда с ней должно быть какое-то распределение.

Дискретная случайная величина:

Случайная переменная X называется дискретной, если она принимает конечное число значений. Функция вероятности, связанная с ней, называется PMF = функция вероятности массы.
P (xi) = вероятность того, что X = xi = PMF для X = pi.

  1. 0 ≤ pi ≤ 1.
  2. ∑pi = 1, где сумма берется по всем возможным значениям x.

Приведенные выше примеры являются дискретными случайными величинами.

Пример: — Пусть S = {0, 1, 2}

Найдите значение P (X = 0) :
Сол: — Мы знаем, что сумма всех вероятностей равна 1.
==> p1 + p2 + p3 = 1
==> p1 + 0.3 + 0.5 = 1
==> p1 = 0,2

Непрерывная случайная величина:

Случайная переменная X называется непрерывной, если она принимает бесконечное число значений. Функция вероятности, связанная с ней, называется PDF = функция плотности вероятности
PDF: если X непрерывная случайная величина.
P (x

  • 0 ≤ f (x) ≤ 1; для всех х
  • ∫ f (x) dx = 1 по всем значениям x
  • Тогда P (X) называется PDF распределения.

    Пример: — вычислить значение P (1

    Such that f(x) = k*x^3; 0 ≤ x ≤ 3
                    = 0; otherwise
    f(x) is a density function
    

    Решение: — Если функция f называется функцией плотности, то сумма всех вероятностей равна 1. Поскольку это непрерывная случайная величина, интегральное значение равно 1 общему выборочному пространству s.
    ==> K * [x ^ 4] / 4 = 1 [Обратите внимание, что [x ^ 4] / 4 является интегралом от x ^ 3]
    ==> К * [3 ^ 4 — 0 ^ 4] / 4 = 1
    ==> К = 4/81
    Значение Р (1

    Следующая тема:
    Линейность ожидания

    Ссылка:
    MIT Video Lecture

    Статья предоставлена Анил Сайкришна Деварасетты
    Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

    Рекомендуемые посты:

    Математика | Случайные переменные

    0.00 (0%) 0 votes