Рубрики

Математика | Представления матриц и графов в отношениях

Ранее мы уже обсуждали отношения и их основные типы.
Объединяя отношения:
Предположим, что R — это отношение из множества A к B, а S — это отношение из множества B к C, комбинация обоих отношений — это отношение, которое состоит из упорядоченных пар (a, c), где a Є A и c Є C, и существует существует элемент b Є B, для которого (a, b) Є R и (b, c) Є S. Это представляется как RoS.

Обратная связь:
Отношение R определяется как (a, b) Є R из набора A в набор B, тогда обратное отношение определяется как (b, a) Є R из набора B в набор A. Обратное отношение представляется как R -1
R -1 = {(б, а) | (a, b) Є R}.

Дополнительное отношение:
Пусть R отношение из множества A к B, тогда дополнительное отношение определяется как — {(a, b)}, где (a, b) не равно Є R.

Представление отношений:
Отношения могут быть представлены в виде матриц и ориентированных графов.

Отношение как матрицы:
Отношение R определяется как от множества A к множеству B, тогда матричное представление отношения имеет вид M R = [m ij ], где

m ij = {1, если (a, b) Є R

0, если (a, b) Є R}

Свойства:

  1. Отношение R является рефлексивным, если диагональные элементы матрицы равны 1.
  2. Отношение R нерефлексивно, если диагональные элементы матрицы равны 0.
  3. Отношение R является симметричным, если транспонирование матрицы отношений равно ее исходной матрице отношений. то есть M R = (M R ) T.
  4. Отношение R является антисимметричным, если либо m ij = 0, либо m ji = 0, когда i ≠ j.
  5. Отношение следует за свойством соединения, то есть объединением матриц M1 и M2 является M1 V M2, которое представлено как R1 U R2 в терминах отношения.
  6. Отношение следует за свойством удовлетворения, если матрицей M1 и M2 является M1 ^ M2, которая представлена в виде отношения R1 Λ R2.

Отношения как ориентированные графы:

Направленный граф состоит из узлов или вершин, соединенных направленными ребрами или дугами. Пусть R — отношение из множества A к множеству B, определенному как (a, b) Є R, тогда в ориентированном графе это представляется как ребро (стрелка от a до b) между (a, b).

Свойства:

  1. Отношение R рефлексивно, если в каждом узле ориентированного графа есть петля.
  2. Отношение R нерефлексивно, если в любом узле ориентированных графов петли нет.
  3. Отношение R является симметричным, если для каждого ребра между различными узлами ребро всегда присутствует в противоположном направлении.
  4. Отношение R является асимметричным, если между разными узлами никогда не бывает двух ребер в противоположном направлении.
  5. Отношение R транзитивно, если существует ребро от a до b и от b до c, то всегда есть ребро от a до c.

Пример:

Направленный граф отношения R = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, c), (c, b), (c, a)} представляется как:

Поскольку в каждом узле есть петля, она является рефлексивной, но она не является ни симметричной, ни антисимметричной, поскольку существует ребро от a до b, но нет противоположного ребра от b до a, а также направленное ребро от b до c в обоих направлениях. R не транзитивен, поскольку существует ребро от a до b и от b до c, но нет ребра от a до c.

Эта статья предоставлена Нитика Бансал .

Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

Статьи по Теме:
Отношения и их типы

Рекомендуемые посты:

Математика | Представления матриц и графов в отношениях

0.00 (0%) 0 votes